Les pantographes.

 

Un grand merci à Yves sans qui cette page n'aurait sans doute pas été écrite.

Comme vous pourrez le constater, dans chaque applet il y a des points "coincés", soit à l'intérieur d'un polygone, soit à l'intérieur d'une couronne circulaire. Pour coincer des points à l'intérieur d'un polygone ou d'un cercle il suffit de trois clics et d'une case à cocher (un petit film l'expliquera). Pour coincer des points à l'intérieur d'une couronne circulaire c'est un peu plus technique ; on se sert alors d'une fonctionnalité de C.a.R. tout à fait surprenante : la possibilité de construire des points ou des segments "auto-référents".

I - Un véritable pantographe .

Il n'y a pas si longtemps, quelques dizaines d'années seulement, agrandir une image ne pouvait se faire ni avec le zoom 200% de la photocopieuse ni avec son logiciel de dessin préféré. Il existait cependant des petits instruments constitués de tiges articulées permettant de recopier un dessin en l'agrandissant, les pantographes.

Voici une gravure représentant l'un d'entre eux. On la trouve dans l'encyclopédie de Diderot et d'Alembert. Pour mieux apprécier les multiples mécanismes et imaginer son fonctionnement, il est conseillé de télécharger l'image.


pantographe.jpg

Et voici une modélisation de ce même pantographe construite avec C.a.R


pantographe 1

qui fonctionne réellement ! En C se trouve le crayon, en M la pointe qui suit le tracé initial. Il suffit d'utiliser l'outil "trace" (clic-gauche sur C puis sur M et enfin suivre le contour avec M) pour produire le chef-d'oeuvre attendu. Et si le chef-d'oeuvre n'est pas celui escompté un changement d'outil (ou un"échap") sert de gomme. Là encore, pour expérimenter plus confortablement le pantographe, il est conseillé de télécharger le fichier. Ou de se servir de la fonction zoom (avec la molette de la souris) ainsi que d'éventuelles translations (avec le bouton droit maintenu enfoncé).
C'est le curseur qui règle la position de la pointe M et par conséquent celle du point fixe sur la barre. Dans le mode d'emploi de l'appareil, l'alignement obligatoire des points O, M et C devait être probablement signalé.
Inutile de souligner qu'en manipulant chacun a pensé "homothétie"...

II - Quelques calculs.

La figure précédente a été reprise, mais seuls les segments utiles pour les calculs sont soulignés de rouge.


pantographe 2

On sait que :
GF=FE=GH=HC=AF=AH=5.
La longueur AM est notée x.
Les points O,M et C sont alignés.
GFMK est un parallélogramme.

Premier calcul à la main : si on note y la longueur OE, donner une relation entre x et y. Puis écrire y en fonction de x.
Pour se corriger en utilisant l'applet, on commencera par utiliser l'outil "expression" : entrer la réponse obtenue précédemment. Puis éditer le segment OE (par un clic-droit sur le segment). Dans la boîte de dialogue qui apparait on sélectionnera l'option entourée de rouge (qui affiche alors sa longueur) :

Autre calcul à la main : celui du rapport OC/OM en fonction de x, noté k. Il ne dépend que de x : c'est bien une homothétie de rapport k et de centre O qui transforme M en C. Là encore il est possible de s'autocorriger. En utilisant l'outil "expression" une première fois, pour entrer la quantité trouvée ; puis une deuxième fois, pour entrer "d(O,C)/d(O,M)". Faire bouger M grâce au curseur et observer.

III - Un pantographe virtuel.

Ainsi appelé parce que d'éventuelles contraintes mécaniques sont ici absentes : ses seules contraintes sont celles de toujours exister. C'est la modélisation d'un pantographe classique : celui de Sylvester.
Voici le modèle :


Pantograhe de Sylvester

Celui-ci aussi fonctionne ! Il suffit de faire un dessin avec l'outil proposé par C.a.R, puis de construire la trace de P quand M repasse sur les traits. Un dessin raté se gomme en sélectionnant à nouveau l'outil dessin puis en utilisant "échap" ou "enter". Beaucoup plus artistique : utiliser les traces multiples. Toujours avec l'outil trace, shift-clic sur P, clic sur M et déplacement de M.

On pense bien sûr à une rotation, mais de quel centre, quel angle ? Un outil permet de confirmer son intuition : l'outil angle. Comme précédemment, on éditera l'angle en question (par un clic-droit) pour que s'affiche sa mesure. Une justification géométrique sur papier est tout à fait possible pour un élève de première (les terminales peuvent utiliser les nombres complexes).

Un travail de construction pour terminer : on demande de reproduire le pantographe lorsque le point M est bloqué dans la couronne .


pantographe à compléter

III - Le secret des points coincés.

Pour coincer un point à l'intérieur d'un cercle ou d'un polygone, c'est en fait très simple. Ce petit film (pour C.a.R.) ou celui-ci (pour CaRMetal) vous montre comment faire.

Nettement plus technique : voici une méthode pour coincer le point M à l'intérieur de la couronne circulaire de l'applet ci-dessous.


Vous pouvez commencer par lire cet article d'Eric où il est question de segments auto-référents. Vous comprendrez alors la méthode qui a été utilisée pour bloquer le point M : après un clic-droit dans l'applet sur le segment OM pour l'éditer, il suffit de compléter ainsi la boîte de dialogue obtenue:

Un segment s, dont la longueur (conditionnelle) dépend ... de s !