I - Présentation
Dans cette partie, la perspective utilisée est la plus simple qui soit : il s'agit de la projection orthogonale de l'espace sur un plan (soleil au zenith et sol horizontal). Nous sommes donc dans un cas particulier de perspective cavalière pour lequel l'image d'une sphère est un disque sur le plan de projection, contrairement au cas général.
figure : figurebase1.zir
II - Représentation du trièdre dans le repère (O ; I , J)
Convention de notation pour la suite : un vecteur OM (majuscule) sera noté m (minuscule). Le trièdre (O;x,y,z) et le repère (O;i,j) sont orthonormés et de même norme.
Pour représenter ce trièdre (O;x,y,z) dans le repère (O;i,j) du plan, nous avons utilisé deux angles 
et 
, et nous avons placé des points "fixes" (au sens de C.a.R.) X,Y et Z définis par leurs coordonnées en fonction de ces deux angles. Nous allons voir maintenant ce que représentent réellement ces deux angles et quels sont les coordonnées de ces trois points.
La vue 1 de la figure ci-dessous correspond au trièdre tel qu'il est représenté dans la figure précédente. (O;i,j) est le repère du plan, mais il peut être considéré comme la vue "du dessus" d'un trièdre orthonormé direct (O;i,j,k). Le vecteur k pointe donc vers l'observateur.
figure : figurebase2.zir
La vue 2 correspond au repère (O;j,k) (le vecteur i pointe vers l'observateur). Elle illustre ce que représente l'angle (faites varier cet angle) : il s'agit de l'angle de rotation de notre trièdre autour du vecteur i. Appelons U l'image de Z par la rotation d'un quart de tour autour l'axe (OI). On a :
(1) et 
(2)
Comme u, i, x et y sont tous orthogonaux au vecteur z, ces quatre vecteurs sont dans le même plan. La vue 3 correspond au repère (O;u,i) (le vecteur z pointe vers l'observateur). Elle illustre ce que représente l'angle (faites varier cet angle) : il s'agit de l'angle de rotation de notre trièdre autour du vecteur z. On a dans ce repère (O;u,i) :
(3) et 
(4)
Des égalités (1) et (3) on tire : 
(5)
Et des égalités (1) et (4) : 
(6)
Dans notre plan (O;i,j) de C.a.R., le vecteur k pointe toujours vers l'observateur et par conséquent il doit être considéré comme nul. Les égalités (2), (5) et (6) nous donnent donc les coordonnées des points X,Y et Z :
Pour construire cette figure "trièdre" dans C.a.R., il suffit donc de se donner 2 angles "theta" et "phi" (en n'oubliant pas de sélectionner 
pour indiquer que leurs mesures peuvent être supérieures à 180°) et de construire un repère (O;I,J) orthonormé. Les formules donnant les points X, Y et Z peuvent être lues en effectuant un clic-droit sur chacun de ces points dans la première figure de cet article (dans ces formules "i" et "j" représentent les longueurs des segments [OI] et [OJ] : C.a.R. utilise comme longueur le nom donné aux segments).