Dans une construction, un objet géométrique ne peut se baser que sur un ou plusieurs des objets qui le précèdent et ceci semble à priori vrai pour tous les objets de tous les logiciels de géométrie dynamique.
C.a.R. contient toutefois dans sa panoplie un outil très exotique qui déroge au sens commun : un outil qui permet de créer un objet qui fait référence.... à lui-même !

A priori cela n'a peut-être l'air de rien, mais cet outil ouvre de très nombreuses portes, et vous pourrez lire par exemple dans la série d'articles "Points sur objets" qu'il nous permet de lier des points à des courbes, des coniques, des lieux et des polygones. Je vous propose de vous engouffrer dans cette "faille" qui est à C.a.R. ce que les ports ouverts sont aux serveurs windows : cette série d'articles qui commence ici ne peut pas mieux correspondre à l'intitulé de la rubrique dont elle fait partie : "Pirates !"...

Les segments de longueur fixe

1°/ Petite construction

Nous vous invitons à construire sur l'applet ci-dessous un segment de longueur "fixe" (outil ) en copiant/collant dans le champs "Longueur" de la boîte à dialogue la formule suivante :

if(sxx>1,1,sxx)

Note : Remplacer sxx par le nom du segment que vous verrez apparaître dans le champs "Nom" de la boîte. Dans une formule, sxx représente la longueur du segment sxx. (J'utilisais jusqu'à présent d(A,Pxx) dans ces formules au lieu de sxx : merci Philippe Matet pour m'avoir donné cette autre possibilité de notation !).

La formule se comprend comme ceci : si la longueur du segment sxx dépasse 1, on la ramène à 1, sinon on ne fait rien (longueur de sxx=longueur de sxx).

Déplacer l'extrémité nouvellement créée et observez ce qui se passe : ce point obeit bien à la formule et reste intérieur au cercle de rayon 1. En quelque sorte, nous venons de construire un "point sur disque unité". Pour obtenir un "point sur disque" plus général, on se donne un cercle c1 de centre A, et on crée un segment de longueur fixe d'origine A en utilisant comme formule :

if(sxx>c1,c1,sxx)

(dans une formule, le nom d'un cercle symbolise en fait son rayon).

2°/ Que s'est-il passé ?

Il n'y avait au départ qu'un seul objet dans cette figure avant que nous utilisions "segment de longueur fixe". Manifestement cet outil crée non pas un mais deux objets : le segment et la deuxième extrémité à une distance de A établie par un nombre ou une formule. Un peu de logique s'impose :

Soit on considère que P2 est créé avant le segment et alors il est normal que la formule qui entre dans la création du segment puisse y faire référence. Mais dans ce cas on ne comprend pas comment une longueur créée après P2 puisse imposer quoi que ce soit à P2 (numéro inférieur dans l'ordre de création).

Soit on considère que le segment est créé avant P2 et il est alors normal qu'il impose à P2 de se tenir à une certaine distance de A, mais dans ce cas on ne comprend pas pourquoi ce segment, dans la formule, puisse référer à P2 qui n'existe pas encore... (Vous me suivez ?).

Il s'agit bien là d'un cas d'auto-référence pour l'ensemble {segment,Point P2} : en fusionnant les deux cas ci-dessus, on peut dire sans trop se tromper que cet ensemble s'appelle lui-même !

Une application parmi tant d'autres

Vous verrez dans notre rubrique "Pirates !" de nombreuses fois apparaître cet outil hors du commun, pour des constructions et des macros comme celle proposées dans la série des "points sur objets décoratifs"...

Je vous donne ci-dessous un exemple de ce qu'il est possible de faire avec cette technique : il s'agit d'un triangle en géométrie elliptique. Les sommets de ce triangle sont libres tant qu'il sont intérieurs au cercle horizon mais ils ne peuvent pas sortir de celui-ci.

Vous pouvez rajouter des "Points sur disque" en selectionnant la macro (clic droit dans l'applet) et en désignant le cercle. Vous pouvez aussi utiliser la macro "Droite elliptique" : je l'ai laissé pour vous dans ce menu macro !