Il arrive que des élèves éprouvent des difficultés à la simple
lecture d'un énoncé : les mots ne leur parlent pas. Les raisons peuvent être
très variées et complexes. Mais parfois c'est uniquement parce que le problème
comporte des éléments variables ou mobiles ! Il suffit alors d'une figure
faite de façon dynamique pour s'entendre dire : "heureusement que j'ai
vu comment çà bouge, sinon j'aurais jamais rien compris à l'énoncé !"
(sic).
Il me semble que l'exemple donné ci-dessous montre bien combien un logiciel
de géométrie dynamique permet d'illustrer très clairement un énoncé ... difficile
à bien expliquer avec de simples mots et une figure figée.
C'est un modeste exercice de calcul autour du théorème ... de Pythagore !
Mais il y a un point mobile, et le problème est en 3D. Les figures
3D faites avec C.a.R. sont très claires et très belles ; on peut mélanger du transparent
et de l'opaque, créer des polygônes à bord
invisible, et il est possible d'utiliser des calques ; c'est même relativement simple,
à condition d'utiliser les macros adéquates.
J'ai utilisé celles d'Eric, évidemment ! Vous les trouverez dans la bibliothèque
de macros de CaRMetal.
Une précision : C.a.R. n'est pas un logiciel de 3D, et ne permet pas de tout
faire. Plus exactement, il permet simplement de faire du dessin en perspective,
où tout se coupe ... comme sur la feuille de papier ! Mais il y a le mouvement
en plus. Un mouvement qui peut se fait très naturellement, sans curseurs visibles
: c'est le simple bouton droit de la souris, comme dans les
"vrais".
I . Le polyèdre tout fait.
Pour faire tourner le polyèdre de l'applet ci-dessous, il
suffit d'utiliser le bouton droit dans la zone blanche ; et pour le translater
de mouvoir le point rouge.
Les deux faces parallèles sont des carrés de même taille, les côtés de l'un
étant parallèles aux diagonales de l'autre. Toutes les autres faces sont des
triangles équilatéraux. Le curseur en haut à droite permet de basculer entre
le mode opaque et le mode transparent.
Plusieurs pistes d'utilisation possibles :
on peut d'abord tout simplement demander aux élèves de faire le patron du polyèdre et de reconstituer le volume.
puis leur proposer toute un série de questions sur la coplanarité ou non-coplanarité de certains points ou certaines droites ; et même enchaîner sur des questions d'intersections. On sera alors amené à construire d'autres segments : pour ne pas être ennuyé avec la question des calques, il faut le faire avec du noir en pointillé (avec la figure en mode transparent).
II. Construction du polyèdre.
On pourra commencer par observer l'applet ci-dessous (ou pour plus de confort le fichier proposé en téléchargement) ; le repère est orthonormé ; le quadrilatère gris est un carré de côté 2 ; le triangle de sommet M est équilatéral. Le curseur en haut à droite permet de gommer provisoirement certaines parties de la figure.
Puis on répondra aux questions suivantes :
Calculer la longueur Op en fonction de a (ou de y). Le calcul se fera dans l'applet (ou dans le fichier) grâce à la macro expression flottante (obtenue par clic-droit dans la fenêtre).
Comment choisir a pour que les deux carrés aient les même dimensions ?
Donner alors la valeur de Op correspondante (exacte si possible).
Utiliser les réponses précédentes ainsi que la macro report
de mesure alg. puis diverses symétries et translations pour construire
le polyèdre dans l'applet ci-dessous (ou dans le fichier). Rappel : la perspective
ici utilisée conserve parallélisme et milieux.
Quelques consignes pour la clarté du dessin obtenu :
- la macro demande les points d'abscisses 0 et 1 ; on choisira soit O et X,
soit O et Y, soit O et Z.
- la racine carrée s'écrit sqrt( ...).
- les polygones éventuels seront tranparents et à bord invisible.
- les segments et les points sont à dessiner en noir et en pointillés, pour
ne pas avoir d'ennuis au niveau des calques (sinon les mettre dans le calque
1).