Pourquoi demander à C.a.R. de dessiner des surfaces en 3D, alors que manifestement le logiciel n'a pas été conçu pour çà ? Comme le dit René Grothmann lui-même, c'est bien plus simple de se tourner dans ce cas vers des logiciels beaucoup mieux adaptés : Mapple, Euler, les grapheurs ...
C'est bien plus simple pour l'enseignant, mais probablement pas pour les élèves. Car la "réponse" leur arrive toute faite et beaucoup trop rapidement. Et ils sont placés devant une interface qu'ils ne connaissent pas, pour un logiciel qu'ils utiliseront très peu, ou pas du tout si c'est l'enseignant qui se contente de "montrer". Alors que les interfaces de logiciels de géométrie dynamique, beaucoup connaissent déjà. De plus, présenter d'une façon dynamique la construction de ces surfaces (avec C.a.R. par exemple ! ) leur laisse une part d'invention : des points à construire, une expression à trouver et à faire fonctionner, un lieu à tracer, etc ... En contrepartie le fichier que doit construire l'enseignant est un peu plus long à fabriquer : vous en trouverez ici deux prêts à l'emploi, et la liste peut très bien s'allonger.
Les fichiers concernant le paraboloïde elliptique ont été testés l'année dernière devant une classe de première ES (spé maths), en vidéoprojection, avec des élèves envoyés au clavier évidemment ! Auparavant ils avaient été familiarisés avec les coordonnées en 3D avec ces exercices. Et ils avaient probablement apprécié puisque certains (pas tous, ne rêvons pas) les avaient demandés pour refaire le travail chez eux. Ce n'était pas avec C.a.R. qui n'était pas suffisamment développé à l'époque au niveau des lieux. Mais maintenant, avec C.a.R., non seulement c'est tout à fait possible, mais c'est très beau (à mon goût) et surtout tellement plus commode pour les manipulations-élèves!
I. Le paraboloïde elliptique (d'équation : z = x² + y²).
Remarque préliminaire : pour faire tourner la figure, on utilise le bouton droit de la souris, tout en essayant de garder le nombre témoin en haut à droite toujours compris entre 0 et 1 ; pour la translater, il suffit de mouvoir l'origine du repère.
Avant de se lancer dans les diverses constructions proposées,
il est conseillé de regarder cette animation flash
pour se familiariser avec les "outils et macros du jour" (macros
qui, comme d'habitude, se retrouvent sous le clic-droit de la souris). Vous
y trouverez la construction de l'intersection du paraboloïde et du plan d'équation
"x = 2" (limitée, comme le paraboloïde, à la zone contenant le carré
de couleur). Le film a été réalisé en utilisant CaRMetal, mais les explications
valent aussi pour C.a.R. ; à condition de charger auparavant ces
macros.
Ces explications devraient être suffisantes pour traiter les deux activités
suivantes :
1°) Intersection avec le plan d'équation "y = k".
Construire l'intersection du paraboloïde et du plan parallèle au plan OXZ contenant le point r, d'équation "y = k".
Quand on a terminé, il est possible de comparer avec la solution.
2°) Intersection avec le plan d'équation "z = 2".
Construire l'intersection du paraboloïde et du plan horizontal
passant par s d'équation "z = 2". Le repère OXY étant orthonormal, quelle est la figure obtenue ?
Indication : la fonction racine carrée s'écrit "sqrt(...)".
Quand on a terminé, il est possible de comparer avec la solution.
II. Le paraboloïde hyperbolique (d'équation : z = xy).
1°) Intersection avec le plan d'équation "y = 0.5".
Dessiner l'intersection du paraboloïde avec le plan parallèle au plan XOZ
et contenant le segment vert du plan XOY contenant le segment vert d'équation "y = 0.5"
Indication : utiliser le point p, point variable de ce segment.
Avec, pour comparer, la solution.
2°) Intersection avec un plan vertical perpendiculaire à la première bissectrice de XOY.
Dessiner l'intersection du paraboloïde avec le plan vertical contenant
le segment vert du plan XOY, dont l'équation est donnée (le point s est variable).
Indication : utiliser le point p, point variable de ce segment.
Là encore, une solution.
3°) Intersection avec le plan d'équation "z = k".
Dessiner l'intersection du paraboloïde avec le plan horizontal
passant par K, de côte k (le curseur permett de faire varier k entre 0 et
1). Mais ceci uniquement dans le demi-espace où x est positif.
Indication : utiliser le poit r, point variable du segment OE et dont l'abscisse
est affichée.
Autre indication : il y a une difficulté si on veut que la trace reste uniquement dans la zone délimitée par le carré bleu, à cause des branches infinies de l'hyperbole. Une solution : après avoir créé le point P(x,y,z) voulu du paraboloïde, le cacher, puis créer un point Q conditionnel de coordonnées if(x+y<=2,x(P),invalid) et if(x+y<=2, y(P),invalid). On cherchera alors la trace automatique de Q et non pas de P.
Là encore, une solution.