Géométrie plane elliptique (1)

A travers cette série d'articles, nous abordons diverses définitions et propriétés relatives aux droites, segments et cercles de la géométrie dite "elliptique".
Il ne s'agit ici que d'une approche... Je livre ci-dessous au lecteur curieux de connaître les détails de l'axiomatique sous-jacente à ces géométries-là une série de ressources qui m'ont été d'un grand secours concernant la rédaction des ces pages non-euclidiennes :

Le modèle elliptique plan

Introduction

Les mathématiciens, astronomes et les navigateurs n'ont pas attendu le XIX° siècle pour mettre en place les calculs d'angles et de longueurs qui permettaient de relier par le plus court chemin un point à un autre de la planete. En se donnant deux points A et B sur une sphère S, on définit tout naturellement la droite (AB) comme étant un grand cercle de S passant par A et par B : on parle alors de géodésique. La "droite" ainsi obtenue constitue le support du "segment" reliant A et B selon la plus courte distance.

On doit la notion de triangle sphérique à Menelaüs d'Alexandrie (1er siècle) et cette aventure mathématique donna lieu à de nombreux travaux remarquables, comme ceux des mathématiciens arabes avec la mise en place dès le Xème siècle de tables de trigonométrie sphérique.

Cette géométrie-là n'est pas une géométrie d'incidence puisque par deux points distincts de la sphère (deux points diamétralement opposés) il peut passer une infinité de droites. Riemann imagina alors d'identifier deux points diamétralement opposés : la géométrie se fait sur une demi-sphère, privée de la moitié de son équateur-section. Sous ces conditions, on vérifie aisément que par deux points distincts passe une droite et une seule.

L'applet ci-dessous représente une telle demi-sphère, agrémentée de trois droites au sens de cette géométrie. Je vous invite à manipuler tout ce qui peut l'être dans cette applet ("cadre" de gauche), tout en observant l'effet de vos modifications sur la demi-sphère :


Télécharger la figure : droite_sur_sphere.zir

Quelques commentaires sur cette applet (courte parenthèse technique) :

Les points définissant les droites sont contraints à rester sur le disque.

Le curseur du bas de cadre permet de passer en affichage "fil de fer".

Un clic-droit dans l'applet (hors de tout objet dans le cadre de droite) vous donne trois macros que vous pouvez tester : "droite", "segments intérieurs" et "segments extérieurs".

Vous remarquerez en utilisant ces macros que CaR ne vous demande pas de désigner d'autres objets initiaux que les deux points.

Cette figure n'est pas d'une "obésité" hors norme (les applets des prochains articles elliptiques contiendront beaucoup plus d'objets), mais elle n'est pas non plus tout à fait légère. Pour information, ou pour ceux qui douteraient encore de la robustesse de CaR, je publie ci-dessous quelques stats sur cette applet relatives au nombre d'objets :

Figure sans les macros :
macro "segment elliptique extérieur" :

Expliquer comment réaliser sur CaR une telle figure serait un peu long, et ne correspondrait pas tout à fait au sujet que je me suis fixé. Il existe toutefois quelques étapes clé de la construction qui font référence non pas au logiciel utilisé, mais à la géométrie elle-même : les quelques paragraphes ci-dessous en donnent les détails.

Dans cette applet, la transformation qui permet de passer du disque à la demi-sphère est basée sur la projection stéréographique tandis que la représentation de la sphère obéït ici à une simple projection orthographique.

C'est le mathématicien Klein qui le premier a proposé de faire une projection stéréographique afin de plonger la demi-sphère dans un plan - dans un disque appelé horizon - sur lequel on pourrait travailler de façon équivalente, sans les inconvénients matériels que l'on ne manquerait pas de rencontrer en faisant de la géométrie sur une surface sphérique : crevaison de ballon, dégonflage intempestif :-)). La projection stéréographique permet cela, et nous allons voir pourquoi :

Généralités sur la projection stéréographique

Cette transformation revient à projeter la sphère (S) sur le plan (P) tangent au pôle nord en utilisant la projection radiale centrée sur le pôle sud (autrement dit, un point M de (S) se projette sur l’unique point d’intersection de (P) avec la droite passant par M et par le pôle sud). La projection stéréographique est définie en tous les points de la sphère excepté le pôle sud, qui s’envoie à l’infini dans toutes les directions.

L'applet ci-dessous représente la section de la sphère (S) par un plan passant par les pôles nord et sud. Ce plan coupe (P) suivant la droite bleue. Le projeté de M sur ce plan n'est autre que son image par une inversion de cercle (C). Ce petit détour par le plan "matérialise" le fait qu'une projection stéréographique d'une sphère de rayon R n'est rien d'autre que la restriction à cette sphère d'une transformation éminament involutive : l'inversion définie par une sphère centrée au pôle sud (il s'agit juste d'un choix !) et de rayon 2R.

Cette projection p hérite donc de toutes les propriétés des inversions de l'espace. Elle conserve les angles (on dit pour cette raison que la projection stéréographique est "conforme"), et tout arc de cercle de la demi-sphère a pour image un arc de cercle du disque horizon.

Donnons-nous une droite (AB) sur la demi-sphère, coupant son équateur en deux points P et Q ([PQ] est donc un diamètre de la sphère). De ces trois propriétés-là, on déduit que l'image de (AB) sur le disque horizon est, au sens euclidien, un arc de cercle passant par p(A), p(B), p(P) et p(Q), où p(P) et p(Q) sont deux points diamétralement opposés du disque. Le caractère involutif de l'inversion nous assure le retour du disque horizon à la demi-sphère : c'est par ailleurs ce retour-là qui est utilisé dans la première applet, puisque la manipulation des points se fait sur le disque et non sur la demi-sphère.

Latitudes et longitudes

J'ai effectué la construction du point M' de la demi-sphère à partir d'un point M du disque (première applet) en déterminant la longitude et la latitude de M'. En utilisant quelques considérations sur la projection stéréographique, on construit très simplement ces deux angles :

Amusement euclidien ...

Dans cette géométrie plane (sur le disque), les droites sont, nous l'avons vu plus haut, les arcs de cercle coupant l'équateur en deux points diamétralement opposés. Et comme l'équateur est fermé sur une moitié, et ouvert sur l'autre, cela garanti que deux droites ont toujours un - et un seul - point commun. Dans cette géométrie-là, toutes les droites sont sécantes.

Je vous propose, pour terminer le premier article de cette série, un petit divertissement purement Euclidien. Il s'agit simplement de résoudre le problème suivant :

"Dans le plan un cercle (c) et deux points étant donnés, comment construire le cercle passant par ces deux points et par deux points diamétralement opposés du cercle (c)".

L'applet ci-dessous traite de cette question : il suffit de déplacer le curseur d'étape.


Téléchargement : DecouverteDroite.zir